Площадь ромба. Четыре формулы, по которым можно вычислить площадь ромба

Ромб - это особая фигура в геометрии. Благодаря его особым свойствам, существует не одна, а несколько формул, с помощью которых вычисляется площадь ромба. Что это за свойства и какие наиболее распространенные формулы для поиска площади этой фигуры существуют? Давайте разберемся.

Какая геометрическая фигура называется ромбом

Прежде чем выяснить, чему равна площадь ромба, стоит узнать, что же это за фигура.

Ромбом со времен Евклидовой геометрии называется симметричный четырехугольник, все четыре стороны коего являются равными между собою по длине и попарно параллельными.

Происхождение термина

Название этой фигуры пришло в большинство современных языков из греческого, через посредничество латыни. «Прародителем» слова «ромб», стало греческое существительное ῥόμβος (бубен). Хотя жителям двадцатого века, привыкшим к круглым бубнам, тяжело представить их другой формы, но у эллинов эти музыкальные инструменты традиционно изготавливались не круглой, а ромбовидной формы.

В большинстве современных языков данный математический термин употребляется, как и в латыни: rombus. Однако в английском языке иногда ромбы называют diamond (алмаз или диамант). Такое прозвище данная фигура получила из-за своей особой формы, напоминающей драгоценный камень. Как правило, подобный термин используют не для всех ромбов, а только для тех, у которых угол пересечения его двух сторон равен шестидесяти или сорока пяти градусам.

Впервые эта фигура была упомянута в трудах греческого математика, жившего в первом веке новой эры - Герона Александрийского.

Какими свойствами обладает эта геометрическая фигура

Чтобы найти площадь ромба, в первую очередь нужно знать, какими особенностями обладает данная геометрическая фигура.

При каких условиях параллелограмм является ромбом

Как известно, каждый ромб является параллелограммом, но при этом не всякий параллелограмм - это ромб. Чтобы точно утверждать, что представленная фигура действительно является ромбом, а не простым параллелограммом, она должна соответствовать одному из трех основных признаков, выделяющих ромб. Или всем трем сразу.

  1. Диагонали параллелограмма пересекаются под углом девяносто градусов.
  2. Диагонали разделяют углы надвое, выступая в качестве их биссектрис.
  3. Не только параллельные, но и смежные стороны имеют одинаковую длину. В этом, кстати, одно из основных различий между ромбом и параллелограммом, поскольку у второй фигуры одинаковы по длине лишь параллельные стороны, но не смежные.

При каких условиях ромб является квадратом

По своим свойствам в отдельных случаях ромб одновременно может становиться квадратом. Чтобы наглядно подтвердить это утверждение, достаточно просто повернуть квадрат в любую сторону на сорок пять градусов. Получившаяся фигура окажется ромбом, каждый из углов которого равен девяноста градусам.

Также, чтобы подтвердить, что квадрат является ромбом, можно сопоставить признаки этих фигур: в обоих случаях все стороны равны, а диагонали являются биссектрисами и пересекаются под углом в девяносто градусов.

Как узнать площадь ромба с помощью его диагоналей

В современном мире в интернете можно найти практически все материалы для выполнения необходимых расчетов. Так, существует масса ресурсов, оснащенных программами для автоматического вычисления площади той или иной фигуры. Причем, если (как в случае с ромбом) есть несколько формул для этого, то есть возможность выбирать, какой из них удобнее всего будет воспользоваться. Однако, прежде всего, необходимо самим уметь вычислять площадь ромба без помощи компьютера и ориентироваться в формулах. Для ромба их существует немало, но самые известные из них четыре.

Одним из самых простых и распространенных способов узнать площадь этой фигуры, если есть информация о длине его диагоналей. Если в задаче есть эти данные, в таком случаем можно применить следующую формулу для нахождения площади: S = КМ x LN/2 (КМ и LN - это диагонали ромба KLMN).

Можно проверить достоверность этой формулы на практике. Допустим, у ромба KLMN длина одной его диагонали КМ - 10 см, а второй LN - 8 см. Тогда подставляем эти данные в указанную выше формулу, и получаем следующий результат: S = 10 х 8/ 2= 40 см 2 .

Формула для вычисления площади параллелограмма

Существует и другая формула. Как было указано выше в определении ромба, он является не просто четырехугольником, но и параллелограммом, и обладает всеми особенностями данной фигуры. В таком случае для нахождения ее площади вполне целесообразно использовать формулу, применяемую для параллелограмма: S = KL х Z. В данной случае KL - это длинна стороны параллелограмма (ромба), а Z - это длинна высоты, проведенной к данной стороне.

В отдельных задачах длина стороны не предоставлена, зато известен периметр ромба. Поскольку выше была указана формула его нахождения, с ее помощью можно узнать и длину стороны. Итак, периметр фигуры - 10 см. Длину стороны можно узнать, инвертировав формулу периметра и разделив 10 на 4. Результатом окажется 2,5 см - это и есть искомая длина стороны ромба.

Теперь стоит попробовать подставить это число в формулу, зная, что длинна высоты, проведенной к стороне, также равна 2,5 см. Теперь попробуем поставить эти значения в вышеупомянутую формулу площади параллелограмма. Получается, что площадь ромба равна S = 2,5 х 2,5 = 6,25 см 2 .

Другие способы вычисления площади ромба

Те, кто уже освоили синусы и косинусы, могут использовать для нахождения площади ромба формулы, содержащие их. Классическим примером служит следующая формула: S = КМ 2 х Sin KLM. В данном случае площадь фигуры равна произведению двух сторон ромба, умноженному на синус угла между ними. А поскольку в ромбе все стороны одинаковы, то проще сразу произвести одну сторону в квадрат, как и было показано в формуле.

Проверяем на практике данную схему, причем не просто к ромбу, а к квадрату, у которого, как известно, все углы прямые, а значит, равны девяносто градусам. Допустим, одна из сторон равна 15 см. Также известно, что синус угла в 90° равен единице. Тогда, согласно формуле, S = 15 х 15 х Sin 90°= 255х1=255 см 2.

Помимо вышеперечисленных, в отдельных случаях используется еще одна формула, с использованием синуса для определения площади ромба: S = 4 х R 2 /Sin KLM. В данном варианте используется радиус вписанной в ромб окружности. Он возносится в степень квадрата и умножается на четыре. А весь результат делиться на синус угла, близлежащего к вписанной фигуре.

В качестве примера для простоты вычислений возьмем опять квадрат (синус его угла будет всегда равен единице). Радиус вписанного в него круга - 4,4 см. Тогда площадь ромба будет вычисляться так: S= 4 х 4,4 2 / Sin 90 °= 77,44 см 2

Приведенные выше формулы нахождения радиуса ромба - далеко не единственные в своем роде, однако они являются наиболее простыми для понимания и проведения вычислений.

– это параллелограмм , у которого все стороны равны, то для него действуют все те же формулы, как и для параллелограмма, включая формулу нахождения площади через произведение высоты и стороны .

Площадь ромба можно найти, также зная его диагонали . Диагонали делят ромб на четыре абсолютно одинаковых прямоугольных треугольника . Если мы их рассортируем, так чтобы получить прямоугольник , то его длина и ширина будут равны одной целой диагонали и половине второй диагонали. Поэтому площадь ромба находится умножением диагоналей ромба, сокращенных на два (как площади получившегося прямоугольника).

Если в распоряжении только угол и сторона , то можно вооружиться диагональю в качестве помощника и начертить ее напротив известного угла. Тогда она разделит ромб на два конгруэнтных треугольника, площади которых в сумме дадут нам площадь ромба. Площадь каждого из треугольников будет равна половине произведения квадрата стороны на синус известного угла, как площадь равнобедренного треугольника . Поскольку таких треугольников два, то коэффициенты сокращаются, оставив только сторону во второй степени и синус:

Если внутри ромба вписать окружность , то его радиус будет относиться к стороне под углом 90° , что значит, что удвоенный радиус будет равен высоте ромба . Подставив вместо высоты h=2r в предыдущую формулу, получим площадь S=ha=2ra

Если же вместе с радиусом вписанной окружности, дана не сторона, а угол, то следует сначала найти сторону, проведя высоту таким образом, чтобы получить прямоугольный треугольник с заданным углом. Тогда сторона a может быть найдена из тригонометрических отношений по формуле . Подставляя это выражение в ту же стандартную формулу площади ромба, выходит

Площадь геометрической фигуры - численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
    Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
  2. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
  3. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
    Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
    4. где S - площадь треугольника,
    - длины сторон треугольника,
    - высота треугольника,
    - угол между сторонами и,
    - радиус вписанной окружности,
    R - радиус описанной окружности,

Формулы площади квадрата

  1. Формула площади квадрата по длине стороны
    Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
  2. Формула площади квадрата по длине диагонали
    Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
    S = 1 2
    2
    3. где S - Площадь квадрата,
    - длина стороны квадрата,
    - длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

    Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

    где S - Площадь прямоугольника,
    - длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

  1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
    Площадь параллелограмма
  2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
    Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

    a · b · sin α

    3. где S - Площадь параллелограмма,
    - длины сторон параллелограмма,
    - длина высоты параллелограмма,
    - угол между сторонами параллелограмма.

Формулы площади ромба

  1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
    Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
  2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
    Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
  3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
    Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
    4. где S - Площадь ромба,
    - длина стороны ромба,
    - длина высоты ромба,
    - угол между сторонами ромба,
    1 , 2 - длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

  1. Формула Герона для трапеции

    Где S - Площадь трапеции,
    - длины основ трапеции,
    - длины боковых сторон трапеции,

Что такое Ромб? Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

РОМБ, фигура на плоскости, четырехугольник с равными сторонами. Ромб - частный случай ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, у которого или две смежные стороны равны, или диагонали пересекаются под прямым углом, или диагональ делит угол пополам. Ромб с прямыми углами называется квадратом.

Классической формулой площади ромба считается расчет значения через высоту. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

1. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

\[ S = a \cdot h \]

2. Если известна сторона ромба (у ромба все стороны равны) и угол между сторонами, то площадь можно найти по следующей формуле:

\[ S = a^{2} \cdot sin(\alpha) \]

3. Площадь ромба также равна полупроизведению диагоналей, то есть:

\[ S = \dfrac{d_{1} \cdot d_{2} }{2} \]

4. Если известен радиус r окружности, вписанной в ромб, и сторона ромба a , то его площадь вычисляется по формуле:

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Свойства ромба

На рисунке выше \(ABCD \) - ромб, \(AC = DB = CD = AD \) . Так как ромб - это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.

В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба:

\[ r = \frac{ AH }{2} \]

Свойства ромба

Диагонали ромба перпендикулярны;

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, есть ромб;

Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Определение ромба

Ромб - это параллелограмм, в котором все стороны равны друг другу.

Онлайн-калькулятор

Если стороны ромба образуют прямой угол, то получим квадрат .

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба, как и площади большинства геометрических фигур, можно найти несколькими способами. Разберемся в их сути и рассмотрим примеры решений.

Формула площади ромба по стороне и высоте

Пусть нам дан ромб со стороной a a a и высотой h h h , проведенной к этой стороне. Так как ромб это параллелограмм, то его площадь мы находим так же, как и площадь параллелограмма.

S = a ⋅ h S=a\cdot h S = a ⋅ h

A a a - сторона;
h h h - высота, опущенная на сторону a a a .

Решим простой пример.

Пример

Сторона ромба равна 5 (см.). Высота, опущенная к этой стороне, имеет длину 2 (см.). Найти площадь ромба S S S .

Решение

A = 5 a=5 a = 5
h = 2 h=2 h = 2

Пользуемся нашей формулой и вычисляем:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10 S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 1 0 (см. кв.)

Ответ: 10 см. кв.

Формула площади ромба через диагонали

Здесь все так же просто. Нужно просто взять половину произведения диагоналей и получить площадь.

S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac{1}{2}\cdot d_1\cdot d_2 S = 2 1 ​ ⋅ d 1 ​ ⋅ d 2 ​

D 1 , d 2 d_1, d_2 d 1 ​ , d 2 ​ - диагонали ромба.

Пример

Одна из диагоналей ромба равна 7 (см.), а другая в 2 раза больше первой. Найдите площадь фигуры.

Решение

D 1 = 7 d_1=7 d 1 ​ = 7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2=2\cdot d_1 d 2 ​ = 2 ⋅ d 1 ​

Найдем вторую диагональ:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14 d 2 ​ = 2 ⋅ d 1 ​ = 2 ⋅ 7 = 1 4
Тогда площадь:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac{1}{2}\cdot7\cdot14=49 S = 2 1 ​ ⋅ 7 ⋅ 1 4 = 4 9 (см. кв.)

Ответ: 49 см. кв.

Формула площади ромба через две стороны и угол между ними

S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha) S = a 2 ⋅ sin (α )

A a a - сторона ромба;
α \alpha α - любой угол ромба.

Пример

Найти площадь ромба, если каждая из его сторон равна 10 см, а угол между двумя смежными сторонами равен 30 градусам.

Решение

A = 10 a=10 a = 1 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^{\circ} α = 3 0 ∘

По формуле получаем:
S = a 2 ⋅ sin ⁡ (α) = 100 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^{\circ})=50 S = a 2 ⋅ sin (α ) = 1 0 0 ⋅ sin (3 0 ∘ ) = 5 0 (см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и углу

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)} S = sin (α ) 4 ⋅ r 2 ​

R r r - радиус вписанной окружности в ромб;
α \alpha α - любой угол ромба.

Пример

Найти площадь ромба, если угол между основаниями равен 60 градусов, а радиус вписанной окружности - 4 (см.).

Решение

R = 4 r=4 r = 4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^{\circ} α = 6 0 ∘

S = 4 ⋅ r 2 sin ⁡ (α) = 4 ⋅ 16 sin ⁡ (6 0 ∘) ≈ 73.9 S=\frac{4\cdot r^2}{\sin(\alpha)}=\frac{4\cdot 16}{\sin(60^{\circ})}\approx73.9 S = sin (α ) 4 ⋅ r 2 ​ = sin (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ​ ≈ 7 3 . 9 (см. кв.)

Ответ: 73.9 см. кв.

Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и стороне

S = 2 ⋅ a ⋅ r S=2\cdot a\cdot r S = 2 ⋅ a ⋅ r

A a a -сторона ромба;
r r r - радиус вписанной окружности в ромб.

Пример

Возьмем условие из предыдущей задачи, но пусть вместо угла нам известна сторона ромба, равная 5 см.

Решение

A = 5 a=5 a = 5
r = 4 r=4 r = 4

S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40 S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (см. кв.)

Ответ: 40 см. кв.